Найдите остаток каждого из чисел 5^17, 4^18, 3^19, 2^20 при делении на 19. В ответе укажите наибольший из остатков.

Формулировка малой теоремы Ферма:если р — простое число, то для любого натурального а разность а^(p)-а делится на р

Можно сформулировать так:

если р — простое число, то для любого натурального а, не делящегося на р, разность а^(р-1)-1 делится на р

Другими словами, если р — простое, то остаток от деления степени а^(р-1)-1 на р равен 1. 

19- простое число, тогда остаток от деления5¹⁹⁻¹-1 делится на 19или 5¹⁸-1 делится на 19, а 5¹⁸ при делении на 19 дает остаток 1.Пусть 5¹⁷ при делении на 19 дает остаток k.5¹⁷=19n+kЧтобы получить из 5¹⁷ новое число 5¹⁸ надо 5¹⁷ умножить на 5,5·5¹⁷=5·19n+5k,5k при делении на 19 дает остаток 1,значит 5k=20,k=44¹⁹⁻¹-1 делится на 19, а 4¹⁸ при делении на 19 дает остаток 1.3¹⁹⁻¹-1 делится на 19, а 3¹⁸ при делении на 19 дает остаток 1.3¹⁸=19m+13¹⁹=3·3¹⁸=3·(19m+1)=3·19m+3  имеет остаток 3. 2¹⁹⁻¹-1 делится на 19, а 2¹⁸ при делении на 19 дает остаток 1.2¹⁸=19s+12²⁰=2²·2¹⁸=2²·(19s+1)=4·19s+4 имеет остаток 4Наибольший остаток 4.