подскажите как сравнивать корни? - №19137443

подскажите как сравнивать корни?
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  gavenproctor
- 6 лет назад

Ответы 1

Как сравнивать корни?
1. Самая простая ситуация, когда один корень оказался числом отрицательным, а другой - положительным. Такое возможно, когда один из корней нечётной степени, и под корнем стоит отрицательное число, а другой корень любой степени, но под ним стоит неотрицательное число.
Примеры
Сравнить $\sqrt[3]{-5}$ и $\sqrt{2}$ .
$\sqrt[3]{-5} = - \sqrt[3]{5} \ \textless \ 0; \sqrt{2} \ \textgreater \ 0$
Отрицательное число всегда меньше положительного
$\sqrt[3]{-5} \ \textless \sqrt{2}$
Пример извлекаемых корней
$\sqrt[4]{16} =2\ \textgreater \ \sqrt[3]{-27} =-3$
2. Для остальных случаев правило простое. Нужно возвести оба корня в такую одинаковую степень, чтобы избавиться от обоих корней. Необходимо только обязательно помнить о том, что корень чётной степени всегда неотрицательный, а корень нечётной степени может иметь любой знак в зависимости от знака выражения под корнем.
Примеры:
Сравнить $\sqrt[4]{8}$ и $\sqrt[4]{18}$
$\Big( \sqrt[4]{8}\Big)^4=8 \ \textless \ 18=\Big( \sqrt[4]{18} \Big)^4~~~\Rightarrow~~~\sqrt[4]{8} \textless \sqrt[4]{18}$
-----------------------
Сравнить $\sqrt[5]{-3}$   и    $\sqrt[5]{-7}$
$\Big( \sqrt[5]{-3}\Big)^5 =-3\ \textgreater \ -7=\Big( \sqrt[5]{-7} \Big)^5~~~~\Rightarrow~~~~\sqrt[5]{-3} \textgreater \sqrt[5]{-7}$
-----------------------
Сравнить $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[7]{2}$
Наименьшее общее кратное чисел 3 и 7 равно 21, поэтому возводить корни следует в степень 21
$\Big(\sqrt[3]{2}\Big)^{21}=\Big(\Big( \sqrt[3]{2} \Big)^3\Big)^7=2^7=128 \\ \\ \Big( \sqrt[7]{2} \Big)^{21}=\Big(\Big( \sqrt[7]{2} \Big)^7\Big)^3=2^3=8$
128 > 8 ⇒    $\sqrt[3]{2}\ \textgreater \ \sqrt[7]{2}$
-----------------------
Сравнить $\sqrt[3]{-2}$ и $\sqrt[7]{-2}$
$\Big(\sqrt[3]{-2}\Big)^{21}=\Big(\Big( \sqrt[3]{-2} \Big)^3\Big)^7=\Big(-2\Big)^7=-128 \\ \\ \Big( \sqrt[7]{-2} \Big)^{21}=\Big(\Big( \sqrt[7]{-2} \Big)^7\Big)^3=(-2)^3=-8$
-128 < -8 ⇒    $\sqrt[3]{-2}\ \textless \ \sqrt[7]{-2}$
-------------------------
Сравнить $\sqrt[15]{2}$ и    $\sqrt[20]{3}$
Наименьшее общее кратное чисел 15 и 20 равно 60, поэтому возводить оба корня следует в 60 степень
$\Big( \sqrt[15]{2} \Big)^{60}=\Big(\Big( \sqrt[15]{2} \Big)^{15}\Big)^4=2^4=16 \\ \\ \Big( \sqrt[20]{3} \Big)^{60}=\Big(\Big( \sqrt[20]{3} \Big)^{20}\Big)^3=3^3=27$
16 < 27   ⇒ $\sqrt[15]{2} \ \textless \ \sqrt[20]{3}$
--------------------------
Сравнить $\sqrt{ \frac{1}{3} }$ и    $\sqrt[3]{ \frac{1}{2} }$
Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6, поэтому корни нужно возводить в степень 6.
$(\sqrt{ \frac{1}{3}}\Big)^6=\Big(\Big( \sqrt{ \frac{1}{3} } \Big)^2\Big)^3=\Big( \frac{1}{3} \Big)^3= \dfrac{1}{27} \\ \\ \Big(\sqrt[3]{ \frac{1}{2} } \Big)^6=\Big(\Big( \sqrt[3]{\frac{1}{2} } \Big)^3\Big)^2=\Big( \frac{1}{2} \Big)^2= \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{27} \ \textless \ \dfrac{1}{4}$   ⇒    $\sqrt{ \dfrac{1}{3} }\ \textless \ \sqrt[3]{ \dfrac{1}{2} }$
-------------------------
Сравнить $\sqrt[3]{-0,1}$ и    $\sqrt[5]{-0,01}$
$\Big( \sqrt[3]{-0,1} \Big)^{15}=\Big(\Big( \sqrt[3]{-0,1} \Big)^3\Big)^5=(-0,1)^5=-0,00001 \\ \\ \Big(\sqrt[5]{-0,01} \Big)^{15}=\Big(\Big( \sqrt[5]{-0,01} \Big)^5\Big)^3=(-0,01)^3=-0,000001$
-0,00001 < -0,000001   ⇒    $\sqrt[3]{-0,1} \ \textless \ \sqrt[5]{-0,01}$
- Автор:
  boo12
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years