При каком значении параметра а эта функция убывает на всей числовой оси? Если кто может, объясните, как вообще решать такого типа задачи

А включить концевые точки надо, потому что в них при некоторых х будет равенство 0 производной, т.е. касательная к графику в этих иксах будет горизонатльна, но поскольку эти точки изолированные и в них знак производной не меняется, то на убывание это не влияет. Приблизительно как в графике y=x^3. В х=0 здесь тоже производная равна 0, но тем не менее функция везде возрастает

ну, в таком виде оно тоже не очень :)) В ответ вы концевые точки включаете, вопреки тому, что все неравенства строгие. Надо тогда либо это объяснить, либо уж неравенства писать нестрогими. А вообще, лучше изучить в инете вопрос "критерий строгой монотонности функции"

Я как раз сижу и думаю как лучше оформить

Ну, я бы везде поставил нестрогие неравенства. Но по этому критерию монтонности, нужно еще доказать, что те иксы, при которых производная 0, они не идут сплошняком, а отдельные изолированные точки, что в общем очевидно. Тогда этот критерий выполняется. и все ок.

Спасибо за советы.

Чтобы функция убывала на всей числовой оси нужно чтобы производная была неположительна, а нулю равнялась лишь в некоторых отдельных точках. то есть, во первых,чтоб неравенство выполнялось для любого x.Неравенство будет выполняться для всех x, когда a²+a-3 будет больше  или равно единице. Ведь -≤1sin2x≤1.a²+a-3≥1Решаем и получаем:a∈(-oo; (-1-√17)/2]∪[(√17-1)/2); +oo)Если a=(-1±√17)/2, f'(x)=0 в точках x=5pi/12+2pi*n, x=pi/12+2pi*n. При всех остальных же a из полученных промежутков производная отрицательна.Таким образом мы можем говорить что функция действительно убывает на всей числовой прямой при a∈(-oo; (-1-√17)/2]∪[(√17-1)/2); +oo).