При каких значения k сумма квадратов действительных корней уравнения x^2+(4k+1)x-3k+4=0 равна 29

а почему x1+x2=4k+1, а не -4k-1?

Вы правы, но при возведении в квадрат ответ будет таким же.

По теореме Виетах₁+х₂=4k+1х₁·х₂=3k+4x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(4k+1)²-2·(-3k+4)=16k²+8k+1+6k-8=16k²+14k-716k²+14k-7=298k²+7k-18=0D=7²-4·8·(-18)=49+576=625k=(-7-25)/16=-2  или  k=(-7+25)/16=18/16=1,125О т в е т. k=-2; k=1,125.