Предположим противное: всего чисел, для которых выигрывает второй игрок конечно. Пусть всего их c: {

}. Возьмём произвольное число y, для которого выигрывает первый игрок. Понятно, что должно существовать такое z, что

для некоторого i. То есть утверждение задачи эквивалентно тому, что существует некоторое конечное множество A такое, что любое натурально число либо принадлежит A, либо может быть представлено как

+ элемент из А. (z - натуральное). Предположим, что это так. Тогда возьмём отрезок [1, m]. Далее будем брать элемент из A и прибавлять к нему квадраты натуральных чисел (1, 4, 9 ...) и если это число лежит в промежутке [1, m] увеличивать некий счётчик count. Понятно, что для элемента xi мы увеличим счётчик на

. Но тогда когда мы сделаем это для каждого элемента из A, в счётчике будет
![c[\sqrt{m}] \leq c\sqrt{m} c[\sqrt{m}] \leq c\sqrt{m}](https://tex.z-dn.net/?f=c[\sqrt{m}] \leq c\sqrt{m})
, но так как m растёт быстрее, чем

, то для некоторого m в промежутке [1...m] будут числа, не представимые в виде

, приходим к противоречию, а значит утверждение задачи истинно. Замечание 1: понятно, что count >= чем чисел в промежутке [1, m], которые представимы как xi^2 + z^2. Замечание 2: [x] - целая часть числа х (или наибольшее целое число, не превосходящее x).