Методом математической индукции докажите 1) формулу общего члена арифметической прогрессии a_n=a_1+d*(n-1) 2) [tex]\displaystyle S_n=\frac{(2a_1+d(n-1))n}{2}[/tex]формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии; 3) формулу общего члена геометрической прогрессии [tex]\displaystyle b_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}[/tex] при [tex]q eq 1[/tex]

Методом математической индукции докажите
1) формулу общего члена арифметической прогрессии a_n=a_1+d*(n-1)
2) [tex]\displaystyle S_n=\frac{(2a_1+d(n-1))n}{2}[/tex]формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии;
3) формулу общего члена геометрической прогрессии
[tex]\displaystyle b_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}[/tex] при [tex]q eq 1[/tex]
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  zackery
- 5 лет назад

Ответы 1

1)База индукции: 1 $a_1=a_1+d*0=a_1$ проверено.Предположим, что утверждение верно для n=k. $a_{k}=a_1+d(k-1)=a_1+dk-d$ Покажем, и докажем, что утверждение верно так же для n=k+1. $a_{k+1}=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk$ Так как , следуя предположению $a_{k}=a_1+d(k-1)=a_1+dk-d$ то прибавив к данному выражению d. Мы получим следующий член $a_{k+1}=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk$ .Т.е. предположение верно. Ч.Т.Д.2) $S_n= \frac{n[2a_1+d(n-1)]}{2}$ База : 1Проверка: $S_1= \frac{2a_1}{2}=a_1$ . Предположение: $n=k \Rightarrow S_k= \frac{k[2a_1+d(k-1)]}{2}= \frac{2a_1k+dk^2-dk}{2}$ Теперь покажем и докажем, что данное выражение верно и при $n=k+1$ :Так как предыдущий член был равен k, то что бы узнать сумму первых k+1 членов, достаточно прибавить k+1 член (используя формулу которую мы доказали ранее): $S_{k+1}= \frac{2a_1k+dk^2-dk}{2}+(a_1+dk)= \frac{2(a_1+dk)+2a_1k+dk^2-dk}{2}\\= \frac{2a_1+2dk+2a_1k+dk^2-dk}{2}= \frac{2a_1k+2a_1+dk^2+dk}{2}\\ = \frac{2a_1(k+1)+dk(k+1)}{2}= \frac{(k+1)(2a_1+dk)}{2}$ т.е. мы пришли к изначальной формуле, если туда подставить k+1. Ч.Т.Д.3)Это не формула общего члена, это формула суммы.При $q=1$ получается деление на ноль, поэтому сразу пишем $q eq 1$ База: 1 $b_1= \frac{b_1(1-q)}{(1-q)}=b_1$ Предположим, что формула верна для: $n=k$ Покажем и докажем что формула верна для $n=k+1$ :Как и с суммой арифм.прогрессии. Мы добавим k+1 член к сумме. $b_{k+1}= \frac{b_1(1-q^k)}{1-q}+b_1q^k= \frac{(1-q)b_1q^k+b_1(1-q^k)}{1-q}\\= \frac{b_1[(1-q)q^k+(1-q^k)]}{1-q}= \frac{b_1[q^k-q^{k+1}+1-q^k]}{1-q}= \frac{b_1(1-q^{k+1})}{1-q}$ Ч.Т.Д.
- Автор:
  rogeliozptz
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ