Прошу помогите решить пожалуйста. Задание есть во вложениях.Найти наибольшее и наименьшее

Прошу помогите решить пожалуйста. Задание есть во вложениях.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке:
[tex]f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x[/tex]
x∈[0;3]
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  darrylhull
- 5 лет назад

Ответы 2

Сначала найдем производную данной функции

$f'_x(x)=3*\frac{x^2}{3}-\frac{3}{2}*2*x+2$

$f'_x(x)=x^2-3*x+2$

Теперь узнаем, существуют ли точки экстремума у исходной функции $f(x)$ на промежутке $[0,\,3]$ . Для этого приравняем производную к нулю. Причем нас интересуют только нули, которые находятся внутри данного промежутка.

$x^2-3*x+2=0$

$D=3^2-4*2$

$D=1$

$x_{1,2}=\frac{3\pm1}{2}$

$x_1=1,\quad x_2=2$

Обе точки попадают в промежуток. Придется искать значения исходной функции $f(x)$ в этих двух точках, так как они экстремумы и на концах отрезка.

$f(0)=\frac{0^3}{3}-\frac{3*0^2}{2}+2*0$

$f(0)=0$

$f(1)=\frac{1^3}{3}-\frac{3*1^2}{2}+2*1$

$f(1)=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2$

$f(1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$

$f(1)=\frac{5}{6}$

$f(2)=\frac{2^3}{3}-\frac{3*2^2}{2}+2*2$

$f(2)=\frac{8}{3}-\frac{12}{2}+4$

$f(2)=\frac{8}{3}-2$

$f(2)=\frac{2}{3}$

$f(3)=\frac{3^3}{3}-\frac{3*3^2}{2}+2*3$

$f(3)=-\frac{3^3}{6}+2*3$

$f(3)=-\frac{3^2}{2}+6$

$f(3)=1,5$

Ответ:

наибольшее значение функция принимает в точке $f(3)=1,5$

наименьшее значение функция принимает в точке $f(0)=0$

То есть на концах отрезка
- Автор:
  pecanktnm
- 5 лет назад
- 0
$y'=(\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x)'=x^2-3x+2 \\ y'=0 \\ x^2-3x+2=0 \\ D=9-4*2=1=1^2 \\ x_1=\frac{3+1}{2}=2 \in [0;\ 3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=\frac{1-3}{2}=-1 \\ \\ y(0)=0 \\ y(2)=\frac{8}{3}-6+4=\frac{2}{3} \\ \\ y(3)=9-\frac{27}{2}+6=1,5$

Наибольшее значение в точке (3; 1,5)

Наименьшее значение в точке (0; 0)
- Автор:
  omary6jr
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ