Доказать равенствo, пользуясь определением границы числовой последовательности:

[tex] \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n!} = 0[/tex]

10 класс, повышенная сложность. Тема - граница и непрерывность.

Помогите, очень надо!

Насколько я понял, идея состоит в том, что 1/n > 1/(n!). Если все так просто, то почему оно повышенной сложности? Нельзя ли найти n точнее, чем [1/ε] + 1, ведь n намного меньше (там факториал)!

Да, конечно можно, там запас большой Можно выбирать N так, чтобы выполнялось 1/N!<ε, но тут еще возиться с выражением N через ε, в общем дополнительная писанина, которая не стоит усилий. Приведенное доказательство годится для любой последовательности, убывающей быстрее чем 1/n. А повышенная сложность, скорее всего, из-за того, что бы разобраться с определением предела, которое само по себе обычно представляет трудность.

Если сможете осознать, то вот доказательство. По определению предела, 0 является пределом этой последовательности, если для любого ε>0 существует номер N (зависящий от ε), такой что для всех натуральных n>N будет выполнено неравенство 1/n!<ε. Для любого ε>0 возьмем N=[1/ε], где [...] - целая часть числа. Тогда, если n>N, то получаем n≥N+1=[1/ε]+1>(1/ε-1)+1=1/ε, откуда 1/n!≤1/n<ε, что и требовалось. Здесь воспользовались тем, что для любого х верно неравенство [x]>x-1.