Решить тригонометрическое уравнение tg^3 x+ctg^3 x+tg^2 x+ctg^2 x =0

Ответы 1

$tg^3 x+ctg^3 x+tg^2 x+ctg^2 x =0$ $tg^3 x+ \frac{1}{tg^3x} +tg^2 x+ \frac{1}{tg^2x} =0$ Замена: $tg^2x=t eq 0$ $t^3+ \frac{1}{t^3} +t^2+ \frac{1}{t^2} =0,t eq 0$ $\frac{t^6+t^5+t+1}{t^3} =0,t eq 0$ $t^6+t^5+t+1=0,t eq 0$ Если целые корни есть, то это либо 1 либо -1 (теорема Безу и все что с ней связано) $\frac{t^6+t^5+t+1}{t-1} =t^5+1$ $\frac{t^5+1}{t+1} =t^4-t^3+t^2-t+1$ Смотреть деление в столбик $(t+1)^2(t^4-t^3+t^2-t+1)=0,t eq 0$ Рассмотрим отдельно уравнение $t^4-t^3+t^2-t+1=0$ Оно возвратное! делим его на $t^2$ , t=0 - не его корень $t^2+ \frac{1}{t^2}-(t+ \frac{1}{t} )+1=0$ $t^2+2*t* \frac{1}{t}+ \frac{1}{t^2}-2-(t+ \frac{1}{t} )+1=0$ $(t+ \frac{1}{t})^2-(t+ \frac{1}{t} )-1=0$ Откуда $t+ \frac{1}{t}= \frac{1\pm \sqrt{5} }{2}$ откуда выходит два квадратных уравнение, и каждое из них не имеет действительных корнейtg(x)=-1, и sin(x) != 0, и cos(x) != 0x = -Pi/4 + Pi*n, где n - множество действительных чисел (запрет для синуса и косинуса быть нулем не влияет на это множество)Ответ: -Pi/4 + Pi*n, где n - множество действительных чисел
- Автор:
  lightningyork
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ