40 БАЛЛОВ!
Найдите целочисленные решения системы уравнений:
[tex] \left \{ {{2 x^{2} +xy+ 9y^{2}=12, } \atop {|x+2y|+2x=5.}} ight. [/tex]

Легко видеть,что х=1,у=1 -решение системы.Покажем, что других решений нет.Пусть х и у одного знака и не равны 0. Тогда понятно, что первое уравнение имеет 1 целочисленный корень (все слагаемые положительны).Преобразуем первое уравнение: x^2+(x+0,5у)^2-0,25у^2+9y^2=12x^2+(x+0,5у)^2+8,75y^2=12Очевидно, что если х или у равен 1,или -1, то значение другой переменной не может быть по модулю больше 1. Первому уравнению удовлетворяет пара х=-1,у=-1, но она не удовлетворяет второму уравнению.Остается проверить х=0 или у=0 и убедиться, что таких решений нет.