найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянным

найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянным коэффициентами
y''-3y'=3e^3x
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  frodoiter
- 5 лет назад

Ответы 1

Решение уравнения будем искать в виде $y=e^{\beta\cdot x}$ .Составим характеристическое уравнение. $\beta^2-3\beta=0\\ \beta_1=0;\\ \beta_2=3;$ Фундаментальную систему решений функций: $y_1=1\\ y_2=e^{3x}$ Общее решение однородного уравнения: $y_{*}=y_1+y_2=C_1\cdot e^{3x}+C_2$ Теперь рассмотрим прафую часть диф. уравнения: $f(x)=3e^{3x}$ найдем частные решения.Правая часть имеет вид уравнения $P(x)=e^{\alpha x}(R(x)\cos(\gamma x)+L(x)\sin(\gamma x))$ , где R(x) и S(x) - полиномы, которое имеет частное решение. $y=x^ze^{\alpha x}(P(x)\cos(\gamma x)+S(x)\sin (\gamma x))$ , где $z -$ кратность корня $\alpha+\gamma i$ У нас R(x) = 3; L(x) = 0; $\alpha=3;\,\, \gamma =0$ Число $\alpha + \gamma i=3$ является корнем характеристического уравнения кратности z=1Тогда уравнение имеет частное решение вида: $y=x(Ae^{3x})$ Находим 2 производные, получим $y'=3Ax3e^{3x}+Ae^{3x}\\ y''=3Ae^{3x}(3x+2)$ И подставим эти производные в исходное диф. уравнения $y''-3y'=3e^{3x}\\ 3Ae^{3x}=3e^{3x}\\ A=1$ Частное решение имеет вид: $y_*=xe^{3x}$ Общее решение диф. уравнения: $y=C_1e^{3x}+C_2+xe^{3x}$
- Автор:
  monster23
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ