^x+( \frac{1}{8} )^x= (\frac{1}{10})^x)
Умножим обе части уравнения на величину

, которая ни при каких

не обращается в
нуль. В результате получим равносильное уравнение:
![10^x*[( \frac{1}{6} )^x+( \frac{1}{8} )^x]=1 10^x*[( \frac{1}{6} )^x+( \frac{1}{8} )^x]=1](https://tex.z-dn.net/?f=10^x*[( \frac{1}{6} )^x+( \frac{1}{8} )^x]=1)
^x+( \frac{10}{8} )^x=1)
^x+( \frac{5}{4} )^x=1)
^x=1-( \frac{5}{4} )^x)
функционально-графический метод, легко заметить, что функция
^x)
монотонна растет на все области действительных чисел, а функция
^x)
монотонно убывает, что означает, что их графики пересекутся лишь в одной точке.(левая и правая части уравнений - функции противоположных монотонностей) Теперь, как стало известно, что решение существует одно, достаточно будет найти его любым способом вплоть до угадать.По скольку
^x \geq 0)
при любом действительном значении

, и по скольку
^x \leq 0)
и легко видеть, что
^x)
проходит через начало координат, то искомый корень находится на промежутке отрицательных действительных чисел (отрицательный показатель заставит перевернутся дроби). Т.е. пусть

, где

тогда:
 ^{-y}=1-( \frac{5}{4} )^{-y})
 ^{y}=1-( \frac{4}{5} )^{y})

нам нужно, что бы числители, к примеру, совпали.на ум приходит пифагорская тройка:

для которой выполняется:

, т.е.

вот мы и угадали, что

тогда

Ответ: