Исследовать числовой ряд на сходимость

 

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}tg(\frac{1}{n+6})[/tex]

 

С подробным решением

Для острых углов известно соотношение   sinα<α<tgα . α=1/(n+6) стремится к 0 при n->∞.

tg1/(n+6)>1/(n+6).

 Исходный ряд сравним с рядом ,общий член которого 1/(n+6).Этот ряд расходящийся, так как его можно сравнить с расходящимся обобщённо-гармоническим рядом  ∑1/n : lim (1/n)/(1/n+6)=1≠0 при n->∞  ⇒ оба ряда ∑1/n и ∑1/(n+6) расходятся.

Ряд ∑1/(n+6) является минорантным, а ряд ∑tg1/(n+6) мажорантным. Из расходимости минорантного ряда следует расходимость мажорантного.  ⇒∑tg1/(n+6) - расходящийся ряд.

1) Ряд знакоположительный.

2) Применим предельный признак сравнения:

Ряд - расходится (обобщенный гармонический ряд расходится при )

Ряд расходится согласно предельному признаку сравнения, так как ряд расходится.