Можно ли все натуральные числа от 1 до 800 разбить на пары так, чтобы сумма любой пары чисел делилась на 6

Всё бы хорошо, да вот только сумма чисел от 1 до 800 = 320400 которое делится на 6

Да, немного поспешил :) Но это легко исправить: любое нечетное число объединяется в пару ТОЛЬКО с нечетным (т.к. их сумма - четная, ибо делится на 6). Значит сумма всех нечетных чисел должна быть кратна 6, но она равна 1+3+5+...+799=(1+799)*400/2=800*200 и это число уже не делится на 6. Так что, ответ тот же "нельзя".

Нечетное число может объединяться в пару ТОЛЬКО с нечетным, т.к только в этом случае сумма - четная (сумма обязана быть четной, ведь она делится на 6). Итак, все нечетные числа должны быть разбиты на пары с суммой в паре кратной 6. Значит сумма всех нечетных чисел должна быть кратна 6, но она равна 1+3+5+...+799=(1+799)*400/2=800*200 и это число уже не делится на 6. Так что ответ: нельзя.