Помогите найти общее решение систем дифференциального уравнения - Znanija.Site

Помогите найти общее решение систем дифференциального уравнения
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  millieoozy
- 5 лет назад

Ответы 1

$\left \{ {{\frac{dx}{dt}=7x+3y} \atop {\frac{dy}{dt}=x+5y}} ight.$ составим матрицу: $A = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 1 & 5 \\ \end{pmatrix}$ характеристическая матрица: $A-E\lambda=\begin{pmatrix} 7-\lambda & 3 \\ 1 & 5-\lambda \\ \end{pmatrix}$ характеристическое уравнение: $|A-E\lambda|=0$ $(7-\lambda)*(5-\lambda)-3*1=0$ $\lambda^2-12\lambda+32=0$ $\lambda^2-4\lambda-8\lambda+32=0$ $\lambda(\lambda-4)-8(\lambda-4)=0$ $(\lambda-8)(\lambda-4)=0$ $\lambda_1=8;\lambda_2=4$ - вещественные однократные корнинайдем собственный вектор для собственного числа $\lambda_1=8$ : $(A-E\lambda_1)\overline{B}=\begin{pmatrix} 7-\lambda_1 & 3 \\ 1 & 5-\lambda_1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ \end{pmatrix}=0$ $\left \{ {{(7-\lambda_1)b_1+3b_2=0} \atop {b_1+(5-\lambda_1)b_2=0}} ight.; \left \{ {{-b_1+3b_2=0} \atop {b_1-3b_2=0}} ight.$ вторая строка есть следствие первой, по этому: $b_1-3b_2=0$ положим $b_2=1$ , тогда $b_1=3$ $\overline{B}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ \end{pmatrix}$ таким образом $\lambda_1=8$ соответствует частное решение: $\overline{X_1}=\begin{pmatrix} x \\ y\\ \end{pmatrix}=e^{\lambda_1t}\overline{B}=e^{8t}\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ \end{pmatrix}$ найдем собственный вектор для собственного числа $\lambda_1=4$ : $(A-E\lambda_2)\overline{B}=\begin{pmatrix} 7-\lambda_2 & 3 \\ 1 & 5-\lambda_2 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ \end{pmatrix}=0$ $\left \{ {{(7-\lambda_2)b_1+3b_2=0} \atop {b_1+(5-\lambda_2)b_2=0}} ight.; \left \{ {{3b_1+3b_2=0} \atop {b_1+b_2=0}} ight.$ вторая строка есть следствие первой, по этому: $b_1+b_2=0$ положим $b_2=1$ , тогда $b_1=-1$ $\overline{B}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\ \end{pmatrix}$ таким образом $\lambda_1=4$ соответствует частное решение: $\overline{X_2}=\begin{pmatrix} x \\ y\\ \end{pmatrix}=e^{\lambda_2t}\overline{B}=e^{4t}\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\ \end{pmatrix}$ два частных решения $\overline{X_1}$ и $\overline{X_2}$ линейнонезависимы, общее решение системы дифф. ур. имеет вид: $\overline{X}=\begin{pmatrix} x \\ y\\ \end{pmatrix}=C_1\overline{X_1}+C_2\overline{X_2}=C_1e^{8t}\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ \end{pmatrix}+C_2e^{4t}\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\ \end{pmatrix}$ или: $\left \{ {{x(t)=3C_1e^{8t}-C_2e^{4t}} \atop {y(t)=C_1e^{8t}+C_2e^{4t}}} ight.$
- Автор:
  mariahnwdh
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years