Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Помогите найти общее решение системы дифференциальных уравнений

    question img

Ответы 1

  • \left \{ {{\frac{dx}{dt}=7x+3y} \atop {\frac{dy}{dt}=x+5y}} ight.составим матрицу:A = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 1 & 5 \\ \end{pmatrix}характеристическая матрица:A-E\lambda=\begin{pmatrix} 7-\lambda & 3 \\ 1 & 5-\lambda \\ \end{pmatrix}характеристическое уравнение:|A-E\lambda|=0(7-\lambda)*(5-\lambda)-3*1=0\lambda^2-12\lambda+32=0\lambda^2-4\lambda-8\lambda+32=0\lambda(\lambda-4)-8(\lambda-4)=0(\lambda-8)(\lambda-4)=0\lambda_1=8;\lambda_2=4 - вещественные однократные корнинайдем собственный вектор для собственного числа \lambda_1=8:(A-E\lambda_1)\overline{B}=\begin{pmatrix} 7-\lambda_1 & 3 \\ 1 & 5-\lambda_1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ \end{pmatrix}=0\left \{ {{(7-\lambda_1)b_1+3b_2=0} \atop {b_1+(5-\lambda_1)b_2=0}} ight.; \left \{ {{-b_1+3b_2=0} \atop {b_1-3b_2=0}} ight.вторая строка есть следствие первой, по этому:b_1-3b_2=0положим b_2=1, тогда b_1=3\overline{B}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ \end{pmatrix}таким образом \lambda_1=8 соответствует частное решение:\overline{X_1}=\begin{pmatrix} x \\ y\\ \end{pmatrix}=e^{\lambda_1t}\overline{B}=e^{8t}\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ \end{pmatrix}найдем собственный вектор для собственного числа \lambda_1=4:(A-E\lambda_2)\overline{B}=\begin{pmatrix} 7-\lambda_2 & 3 \\ 1 & 5-\lambda_2 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ \end{pmatrix}=0\left \{ {{(7-\lambda_2)b_1+3b_2=0} \atop {b_1+(5-\lambda_2)b_2=0}} ight.; \left \{ {{3b_1+3b_2=0} \atop {b_1+b_2=0}} ight.вторая строка есть следствие первой, по этому:b_1+b_2=0положим b_2=1, тогда b_1=-1\overline{B}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\ \end{pmatrix}таким образом \lambda_1=4 соответствует частное решение:\overline{X_2}=\begin{pmatrix} x \\ y\\ \end{pmatrix}=e^{\lambda_2t}\overline{B}=e^{4t}\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\ \end{pmatrix}два частных решения \overline{X_1} и \overline{X_2} линейнонезависимы, общее решение системы дифф. ур. имеет вид:\overline{X}=\begin{pmatrix} x \\ y\\ \end{pmatrix}=C_1\overline{X_1}+C_2\overline{X_2}=C_1e^{8t}\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ \end{pmatrix}+C_2e^{4t}\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\ \end{pmatrix}или:  \left \{ {{x(t)=3C_1e^{8t}-C_2e^{4t}} \atop {y(t)=C_1e^{8t}+C_2e^{4t}}} ight.

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years