Дам 100 баллов! Алгебра! Помогите решить, пожалуйста! Должно получиться 6 ответов!

А, я понял. Просто они целые и неравные, и на множестве целых так и должно быть

спасибо за грамотное решение с объяснением, побольше б таких было

Кстати, я тоже хотел сразу написать, что очевидно, что |x²-у²|≥2у-1, но потом подумал, что может быть непонятно :) На самом деле, это действительно просто, т.к. минимальное расстояние между x² и у² достигается, когда х как можно ближе к у, т.е. х=у+1 или х=у-1, значит оно мин. расстояние между квадратами равно y²-(у-1)²=2у-1 или (у+1)²-у²=2у+1. из этих двух наименьшее 2у-1.

В этом и суть: левая часть не может быть очень маленькой, т.к. даже при минимальном расстоянии между х и у равном 1, расстояние между квадратами уже не 1, а довольно большое (не меньше 2у-1), а потом оно вдобавок еще и в квадрат возводится, но должно равняться правой части 1+16у, которая растет линейно при увеличении у. Понятно, что квадрат растет быстрее чем линейная функция. Значит, равенство если и возможно, то только при маленьких у. Осталось это строго расписать.

(x²-y²)²=1+16y.Очевидно, что y≥0 и |x|≠у. При у=0, получим решения (-1;0) и (1;0). Пусть у≥1.Т.к. х, у - целые, то либо |x|≤у-1, либо |x|≥у+1. В 1-ом случае x²≤у²-2у+1, т.е. у²-x²≥2у-1, Во 2-ом случае x²≥у²+2у+1, т.е. x²-у²≥2у+1. Отсюда в любом случае |x²-у²|≥2у-1. Значит при y≥1 получаем 1+16у=(x²-у²)²≥(2у-1)²=4у²-4у+1, 1+16у≥4у²-4у+1, 5у≥у²,у≤5.Таким образом,при у=1 уравнение (x²-1²)²=1+16·1 целых решений не имеет;при у=2 уравнение (x²-4)²=1+16·2 целых решений не имеет;при у=3 уравнение (x²-9)²=1+16·3 дает решения (-4;3) и (4;3);при у=4 уравнение (x²-16)²=1+16·4 целых решений не имеет;при у=5 уравнение (х²-25)²=1+16·5 дает решения (-4;5) и (4;5).Ответ: (-1;0), (1;0), (-4;3), (4;3), (-4;5), (4;5).