2^x-2^y=1
2^3x-2^3y=7

Делая замену 2^x = u, 2^y = v, получаем:
u-v = 1
u^3 -v^3 = 7
Последнее уравнение раскладываем по формуле разности кубов:
(u-v)(u^2 + uv +v^2) = 7
Пользуемся первым уравнением: u = v+1, имеем:
(v+1)^2 +v(v+1) + v^2 = 7
v^2 + 2v + 1 + v^2 + v + v^2 = 7
3v^2 + 3v  - 6 = 0
v^2 + v - 2 = 0
v1 = 1, v2 = -2.
v2 не подходит, так как степень всегда больше нуля, так что:
v = 1, u = 2.
Отсюда x = 1, y = 0.