Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Докажите что при любом целом значении x выражение x^3+41x делится на 6

Ответы 1

  • Множество целых чисел \mathbb{Z} разделим на три класса:\mathbb{Z} = \mathbb{Z}_0 + \mathbb{Z}_1 + \mathbb{Z}_2, где + обозначает операцию объединения и изначает, что множества \mathbb{Z}_0,\mathbb{Z}_1,\mathbb{Z}_2, дисъюнктны. \mathbb{Z}_0 = \{a \in \mathbb{Z} | \exists{b \in \mathbb{Z}: a = b*3}\} \mathbb{Z}_1 = \{a \in \mathbb{Z} | \exists{b \in \mathbb{Z}: a = b*3+1}\} \mathbb{Z}_2 = \{a \in \mathbb{Z} | \exists{b \in \mathbb{Z}: a = b*3+2}\}Данное разделение множества целых чисел существует по принципу решета Эрастофена.x \equiv 0\ \ (mod 6) \Leftrightarrow x \equiv 0 \ \ (mod 2) \land x \equiv 0 \ \ (mod3)x^3 + 41x = x(x^2 + 41).Так как при четном x выражение делится на два, а при нечетном x^2 + 41 делится на два (сумма нечетных чисел четна), то есть выражение все равно делится на два, первое условие выполнено. Докажем, что x делится на 3:Так как x \in \mathbb{Z} = \mathbb{Z}_0 + \mathbb{Z}_1 + \mathbb{Z}_2, то рассмотрим три случая:1) x \in \mathbb{Z}_0 \Rightarrow x^3 + 41x \equiv 0 \ \ (mod 3) так как x^3 + 41x = x(x^2+41).2) x \in \mathbb{Z}_1 \Rightarrow \exists{b \in \mathbb{Z} : x = 3b + 1}x^2 + 41 = (3b)^2 + 2*(3b)*41 + 1 + 41 = 3*m + 42 = 3*n для каких-то m,n \in \mathbb{Z}, то есть x^3+41x \equiv 0 \ \ (mod 3).3) x \in \mathbb{Z}_2 \Rightarrow \exists{b \in \mathbb{Z} : x = 3b + 2}.x^2 + 41 = (3b)^2 + 2*(3b)*41 + 4 + 41 = 3m + 45 = 3n для каких-то m,n \in \mathbb{Z}, то есть x^3+41x \equiv 0 \ \ (mod 3).Тогда для всех x \in \mathbb{Z} выражение x^3+41x делится на 6.

    • Автор:

      baby32
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years