Найти интегралы: (полное решение) задания на изображении

Ответы 1

$1)\quad \int \frac{x^2}{x^2-5x+4} =\int \frac{(x^2-5x+4)+5x-4}{x^2-5x+4} dx=\int (1+ \frac{5x-4}{x^2-5x+4} )dx=\\\\=\int dx+\int \frac{5x-4}{(x-\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}+4}dx=x+\int \frac{5x-4}{(x-\frac{5}{2})^2-\frac{9}{4}}=\\\\=[t=x-\frac{5}{2}\; ,\; dt=dx\, ]=x+\int \frac{5(t+\frac{5}{2})-4}{t^2-\frac{9}{4}} =x+\int \frac{5t+\frac{17}{2}}{t^2-\frac{9}{4}} dt=$ $=x+\frac{5}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2-\frac{9}{4}}+\frac{17}{2}\int \frac{dt}{t^2-(\frac{3}{2})^2}=x+\frac{5}{2}\cdot ln|t^2-\frac{9}{4}|+ \frac{17}{2}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{3}{2}} \cdot ln\left | \frac{t-\frac{3}{2}}{t+\frac{3}{2}} ight |+C=$ $=x+ \frac{5}{2}\cdot ln|x^2-5x+4|+ \frac{17}{6} \cdot ln\left | \frac{x-4}{x-1} ight |+C$ $2)\quad \int sin^23x\, dx=\int \frac{1-cos6x}{2}dx=\frac{1}{2}\int (1-cos6x)dx=\\\\=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{6}sin6x)+C\\\\3)\quad \int \frac{dx}{1+\sqrt{x}} =[t=\sqrt{x},\; t^2=x\; ,\; dx=2t\, dt]=\\\\=\int \frac{2t\, dt}{1+t} =2\int (1-\frac{1}{1+t})dt=2(t-ln|1+t|)+C=\\\\=2\left (\sqrt{x}-ln|1+\sqrt{x}|ight )+C\\\\P.S.\; \; \int \frac{dx}{ax+b} =\frac{1}{a}\cdot ln|ax+b|+C$
- Автор:
  barbara
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ