Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • +∞
    ∑ \frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n} }
    n=1
    исследовать сходимость ряда,в случае сходимости найти его сумму,пожалуйста помоги ни на кого надежды нет больше

Ответы 1

  • исследовать сходимость ряда Σ \frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n}}, в случае сходимости найти его сумму.Решение:Для исследования сходимости удобно в начале представить данный ряд как сумму двух рядов положительного и знакопеременного Σ \frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n} }= \frac{3 ^{n}}{12^{n} }+ \frac{(-4) ^{n}}{12^{n} }=\frac{1}{4^{n} }+ \frac{1}{(-3)^{n} }Оба ряда исследуем на сходимость применяя радикальный признак Коши.Если  \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}\ \textless \ 1 , то числовой ряд сходится.Положительный ряд\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{4^n} }= \frac{1}{4} \ \textless \ 1Следовательно первый ряд сходитсяВторой ряд знакопеременный так как при четных значениях n значения ряда положительные при нечетных значениях n значения ряда отрицательные. Данный ряд сходится если сходится такой же полностью положительный ряд. Сходимость положительного ряда докажем аналогично предыдущему ряду.\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{3^n} }= \frac{1}{3} \ \textless \ 1Из сходимости положительного ряда следует сходимость знакопеременного ряда.Следовательно из сходимости двух рядов следует сходимость суммы этих рядов или исходного ряда. Найдем суммы этих рядов представляющих собой бесконечную геометрическую прогрессию.S = \frac{b_1}{1-q} Для первого рядаS = \frac{ \frac{1}{4} }{1- \frac{1}{4} }= \frac{1}{3}Для второго рядаS = \frac{ \frac{-1}{3} }{1- \frac{1}{3} }= -\frac{1}{4}Находим сумму исходного рядаS= \frac{1}{3}- \frac{1}{4} = \frac{1}{12}

    • Автор:

      clarkrgjm
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years