Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=-0.5х^2+3 и двумя касательными к этому графику, проходящими через точки на оси оу и образующими между собой прямой угол.

Найдём касательные к графику функции y=-0,5x²+3. График указанной функции представляет собой параболу ветви которой направлены вниз, вершина находится в точке с координатами (0;3), ось симметрии совпадает с осью ординат. Касательные (из условия) перпендикулярны друг другу и равны, следовательно угол наклона к оси абсцисс одной из них будет 45°, а другой 135°. Угловой коэффициент k прямой равен тангенсу угла наклона, значит у одной касательной он будетk₁=tg45°=1а у другой k₂=tg135°=-1Тогда уравнения касательных примут видy₁=x+by₂=-x+bНайдём значение b, для этого приравняем функции y=-0,5x²+3 и y=x+b:-0,5x²+3=x+b-0,5x²+3-x-b=0-0,5x²-x+(3-b)=0Уравнение должно иметь один корень, значит дискриминант должен быть равен 0D=(-1)²-4*(-0,5)*(3-b)=1+2(3-b)=1+6-2b=7-2b=0-2b=-7b=3,5Уравнения касательных будут иметь вид:y=x+3,5y=-x+3,5Находим пределы интегрирования. Сначала нижний:-0,5x²+3=x+3,5-0,5x²-x-0,5=0D=0x=1/(-0,5*2)=-1Теперь верхний:-0,5x²+3=-x+3,5-0,5x²+x-0,5D=0x=-1/(-0,5*2)=1Найдём площадь фигуры сначала слева от оси ординат, потом справа и сложим их: ед².