Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Помогите решить,пожалуйста! Неравенство:sin4x-cos4xctg2x<корень из трёх.Помогите хотя бы упростить левую часть!!

Ответы 1

  • sin4x-cos4x*ctg2x<\sqrt3\\ sin4x-cos4x*\frac{sin2x}{cos2x}<\sqrt3\\ \frac{sin4x*cos2x-cos4x*sin2x}{cos2x}<\sqrt3\\ \frac{2sin2x*cos^22x-cos4x*sin2x-\sqrt3*cos2x}{cos2x}<0\\ \frac{2sin2x*cos^22x-(cos^22x-sin^22x)*sin2x-\sqrt3*cos2x}{cos2x}<0\\ \frac{2sin2x*cos^22x-cos^22x*sin2x+sin^32x-\sqrt3*cos2x}{cos2x}<0\\

    Для удобства для начала отдельно рассмотрю числитель

    2sin2x*cos^22x-cos^22x*sin2x+sin^32x-\sqrt3*cos2x=\\ =sin2x*cos^22x+sin^32x-\sqrt3cos2x=\\ =sin2x(cos^22x+sin^22x)-\sqrt3cos2x

    Заметим, что cos^22x+sin^22x равно одному, это главное тригоном. тождество,напомню, что sin^2\alpha+cos^2\alpha=1, только в нашем случае α=2x

    Заменяем на единицу и все упрощаетсяsin2x-\sqrt3cos2x

    И так получили следущее

    \frac{sin2x-\sqrt3*cos2x}{cos2x}<0\\ \frac{sin2x}{cos2x}-\frac{\sqrt3cos2x}{cos2x}<0\\ tg2x-\sqrt3<0\\ tg2x<\sqrt3\\ 2x=\frac{\pi}{3}+\pi n,n\in Z\\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}n,n\in Z

    При этом

    cos2xeq0\\ 2xeq\frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z\\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n,n\in Z

    У нас получилось две серии корней, с периодами пи/2. поэтому на на круге будет очень много корней. Не знаю так знадумывалось ли, но придётся проверять знаки на промежутках между этими корнями. В итоге на круге будет 8 корней. Некоторая переодичность в знакопостоянстве улавливается, но не сразу и она не однозначна.

    Нам нужно <0.

    И выходит:

    x\in(\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n)\cup(\frac{2\pi}{3}+\pi n;\pi+\pi n), n\in Z

     

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years