Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастания и убывания [tex]f(x) = \frac{1}{2}sin( \frac{ \pi }{6}-4x) [/tex]

Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастания и убывания [tex]f(x) = \frac{1}{2}sin( \frac{ \pi }{6}-4x) [/tex]
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  charles317
- 6 лет назад

Ответы 2

большое спасибо за помощь
- Автор:
  nevaehwright
- 6 лет назад
- 0
1) Найдем нули функции: $\frac{1}{2} sin( \frac{ \pi }{6} -4x)=0 \\ \\ sin( \frac{ \pi }{6} -4x)=0 \\ \\ \frac{ \pi }{6} -4x= \pi n \\ \\ -4x=- \frac{ \pi }{6} + \pi n \\ \\ x= \frac{ \pi }{24} - \frac{ \pi n}{4} =\frac{ \pi }{24} +\frac{ \pi n}{4} , \ n\in Z$ 2) Найдем промежутки знакопостоянства методом интервалов.Синус имеет бесконечное множество корней, значит для интервала возьмем хотя бы 4 из них, при n равном, например, -1; 0; 1; 2 $n=-1; \ \ x=\frac{ \pi }{24} -\frac{ \pi }{4}= -\frac{5 \pi }{24} \\ \\ n=0; \ \ x=\frac{ \pi }{24} \\ \\ n=1; \ \ x=\frac{ \pi }{24} +\frac{ \pi }{4}= \frac{7 \pi }{24} \\ \\ n=2; \ \ x=\frac{ \pi }{24} +\frac{2 \pi }{4}= \frac{13 \pi }{24}$ Теперь берем пробную точку, чтобы узнать знак интервала. Очевидно что в промежутке от (-5π/24;π/24) можно взять нуль.Подставляем в исходную функцию: $f(x)=\frac{1}{2} sin( \frac{ \pi }{6} -4x) \\ \\ f (0)= \frac{1}{2} sin( \frac{ \pi }{6} -4*0)= \frac{1}{2} sin\frac{ \pi }{6}= \frac{1}{2} *\frac{1}{2} =\frac{1}{4}$ Следовательно f(0)>0расставляем знаки: $---(- \frac{5 \pi }{24} )+++( \frac{ \pi }{24} )---( \frac{7 \pi }{24} )+++( \frac{13 \pi }{24} )---\ \textgreater \ x$ на этих интервалах положительное значение функции начинается с х=-5π/24 или с х=7π/24то есть из точки -5π/24 попадаем в точку 7π/24 через период : $\frac{ 7 \pi }{24}-(- \frac{5 \pi }{24}) = \frac{ 7 \pi }{24}+ \frac{5 \pi }{24} = \frac{12 \pi }{24} = \frac{ \pi }{2}$ Таким образом: $f(x)\ \textgreater \ 0,\ \pi pu \ x\in (- \frac{5 \pi }{24}+ \frac{ \pi }{2} n;\ \frac{ \pi }{24} +\frac{ \pi }{2} n) \\ \\ f(x)\ \textless \ 0,\ \pi pu \ \ x \in (\frac{ \pi }{24}+ \frac{ \pi }{2} n;\ \frac{ 7\pi }{24} +\frac{ \pi }{2} n) , \ n\in Z$ 3) Найдем промежутки возрастания и убывания функции:для этого найдем производную функции, найдем нули этой производной и также воспользуемся методом интервалов.Там где производная будет больше нуля - исходная функция будет возрастать, где меньше нуля - убывать. $f'(x)=(\frac{1}{2} sin( \frac{ \pi }{6} -4x))'=\frac{1}{2}cos( \frac{ \pi }{6} -4x)*(-4)=-2cos( \frac{ \pi }{6} -4x) \\ \\ -2cos( \frac{ \pi }{6} -4x) =0 \\ \\ cos( \frac{ \pi }{6} -4x) =0 \\ \\ \frac{ \pi }{6} -4x= \frac{ \pi }{2} + \pi n \\ \\ -4x= \frac{ \pi }{3} + \pi n \\ \\ x=- \frac{ \pi }{12} - \frac{ \pi n}{4} =- \frac{ \pi }{12} + \frac{ \pi n}{4} \\ \\ \\ \\ n=0, \ \ x=- \frac{ \pi }{12} \\ \\ n=1, \ \ x=- \frac{ \pi }{12} + \frac{ \pi }{4} =\frac{ \pi }{6} \\ \\$ $n=2, \ \ x=- \frac{ \pi }{12} + \frac{2 \pi }{4} =\frac{ 5\pi }{12} \\ \\ n=3,\ \ x=- \frac{ \pi }{12} + \frac{3 \pi }{4} =\frac{ 2\pi }{3} \\ \\ \\$ Берем пробную точку 0 в промежутке (-π/12; π/6) $f'(x)=-2cos( \frac{ \pi }{6}-4x ) \\ \\ f'(0)=-2cos \frac{ \pi }{6} =-2* \frac{ \sqrt{3} }{2} =- \sqrt{3} \\ \\ f'(0)\ \textless \ 0$ Следовательно $+++[- \frac{ \pi }{12} ]---[ \frac{ \pi }{6} ]+++ [\frac{5 \pi }{12} ]---[ \frac{2 \pi }{3} ]+++\ \textgreater \ x$ $\frac{5 \pi }{12} -(- \frac{ \pi }{12} )= \frac{5 \pi }{12} +\frac{ \pi }{12}= \frac{ \pi }{2}$ значит период повтора монотонности (убывания, возрастания) функции будет: $\frac{ \pi }{2} n$ Таким образом:Функция возрастает на промежутках: $[ \frac{ \pi }{6} + \frac{ \pi }{2} n; \ \frac{5 \pi }{12}+ \frac{ \pi }{2} n]$ Убывает на: $[ -\frac{ \pi }{12} + \frac{ \pi }{2} n; \ \frac{ \pi }{6}+ \frac{ \pi }{2} n] ,\ n \in Z$
- Автор:
  teagan
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ