Решить показательное уравнение [tex]\displaystyle 8^{x+2}+15^{x+2}=17^{x+2} [/tex]

Решить показательное уравнение

[tex]\displaystyle 8^{x+2}+15^{x+2}=17^{x+2}
[/tex]
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  boomer60
- 6 лет назад

Ответы 4

Спасибо, Айзек
- Автор:
  dakotayb2k
- 6 лет назад
- 0
Спасибо, Денис!
- Автор:
  baileyfpwj
- 6 лет назад
- 0
Разделим обе части на $15^{x+2}$ : $(8/15)^{x+2}+1=(17/15)^{x+2}$ Т.к. 8/15<1, то функция $(8/15)^{x+2}+1$ убывает на всей действительной оси.Т.к. 17/15>1, то функция $(17/15)^{x+2}$ возрастает на всей действительной оси.Значит графики этих функций пересекаются не более чем в одной точке,т.е. уравнение может иметь не более одного корня.Легко угадывается корень х=0: 8²+15²=17². Итак ответ: х=0.
- Автор:
  jamya
- 6 лет назад
- 0
Разделим обе части на $15^{x+2}$ : $\displaystyle \left( \frac{8}{15} ight)^{x+2}+1=\left( \frac{17}{15} ight)^{x+2}$ Так как: $\displaystyle \left( \frac{8}{15} ight)\ \textless \ 1$ то функция $\displaystyle \left( \frac{8}{15} ight)^{x+2}$ убывает.Так как: $\displaystyle \left( \frac{17}{15} ight)\ \textgreater \ 1$ то функция $\displaystyle \left( \frac{17}{15} ight)^{x+2}$ возрастает.Значит графики данных функций пересекаются не более чем в одной точке. Это означает, что у уравнения есть единственное решение.Попробуем ограничить значения x на целых числах.То есть: $x\in \mathbb Z$ Теорема Ферма (доказана в 1995) :Для любого целого числа $n$ ,так что: $n\ \textgreater \ 2$ либо $n\ \textless \ -2$ Уравнение $a^n+b^n=c^n$ не имеет решений в целых ненулевых числах $a,b,c$ .Так как $x\in \mathbb Z$ то решение у данного уравнения может находиться в промежутке: $-2 \leq x+2 \leq 2\\\\-4 \leq x \leq 0$ Проверяя весь промежуток, мы находим что: $x=0 \Rightarrow 8^2+15^2=17^2 \Rightarrow 289=289$
- Автор:
  acaciodavis
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ