Докажите, что значение выражения [tex] 67^{7} [/tex] - [tex] 32^{8} [/tex] кратно 3.
Решение и ответ пожалуйста.

сделаем преобразование A = 67^7 = 67*67^6=67*(66+1)^6=67*((66+1)^2)^3=67*(66^2+2*66+1)^3=67(66*(66+2) +1)^3=67*(66*68+1)^3=67*((66*68)^3 + 3*(66*68)^2 +3 *(66*68) + 1)=66*67*(66^2*68^3 + 3*66*68^2  +3*68) + 67=3*22*67*(66^2*68^3 + 3*66*68^2  +3*68) + 67A=A1+A2, A1=3*22*67*(66^2*68^3 + 3*66*68^2  +3*68) - кратно 3A2=67B=32^8=(33-1)^8=((33-1)^2)^4=(33^2-2*33+1)^4=(33(33-2)+1)^4=(33*31+1)^4=((33*31+1)^2)^2=((33*31)^2+2*33*31+1)^2=((33*31)(33*31+2)+1)^2=(33*31)^2*(33*31+2)^2+2*33*31*(33*31+2)+1=3*11*31*(33*31+2)*(33*31*(33*31+2)+2)+1B=B1+B2B1=3*11*31*(33*31+2)*(33*31*(33*31+2)+2) - кратно 3B2=1C=67^7-32^8 = A-B=A1+A2-B1-B2=(A1-B1)+(A2-B2)A1-B1=кратно 3, A2-B2=67-1=66=3*22 - кратно 3т.о. исходное выражение кратно 3можно решить менее громоздко, если сделать замену переменныхМ=66*68, и N=33*31, которые кратны трем, но так нагляднее.