Помогите решить дифф. уравнение. Решить нужно только первое задание. Желательно

Помогите решить дифф. уравнение. Решить нужно только первое задание. Желательно развернутое решение.
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  alyvia0wr3
- 6 лет назад

Ответы 2

Сюда же пишем решение y=0, которое тоже удовлетворяет начальным условиям.
- Автор:
  dakotauk6t
- 6 лет назад
- 0
Уравнения такого вида называются уравнениями Бернулли. Решение будем искать в виде y=uv, где u и v - функции от x.Сначала найдем какое нибудь частное решение уравнение $u'+u=0$ Переменные легко разделяются: $\frac{du}{u} =-dx \\ ln|u|=-x+C_1 \\ u=e^{-x+C_1}=e^{C_1}e^{-x}=Ce^{-x} \\$ Это общее решение, положим С=1 получим частное решение $u=e^{-x}$ Теперь найдем v. Подставим в исходное уравнение y=uv=ve^{-x} и посмотрим что выйдет: $(ve^{-x})'+ve^{-x}=x \sqrt{ve^{-x}} \\ v'e^{-x}-ve^{-x}+ve^{-x}=x \sqrt{ve^{-x}} \\ v'e^{-x}=x \sqrt{ve^{-x}} \\ \frac{v'}{ \sqrt{v}} = \frac{x\sqrt{e^{-x}}}{e^{-x}} \\ \int\limits \frac{dv}{ \sqrt{v} } = \int\limits x e^{ \frac{x}{2}} dx \\ 2\sqrt{v} = 2e^{ \frac{x}{2} }(x-2) +C_1\\ v=(e^{ \frac{x}{2} }(x-2) +C)^2$ Тогда $y=e^{-x}(e^{ \frac{x}{2} }(x-2) +C)^2$ Подставив вместо y и x нули, находим C=2 и частное решение, удовлетворяющее условию y(0)=0: $y=e^{-x}(e^{ \frac{x}{2} }(x-2) +2)^2$
- Автор:
  jonas410
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ