Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Найдите все значения параметра a при каждом из которых уравнение x^4+2x^3-4x^2-2ax+4a-a^2=0 имеет не менее трех корней.

Ответы 1

  • x^4+2x^3-4x^2-2ax+4a-a^2=0 \\ x^4-a^2+2x^3-4x^2-2ax+4a=0 \\ (x^2-a)(x^2+a)+2x^2(x-2)-2a(x-2)=0 \\ (x^2-a)(x^2+a)+2(x-2)(x^2-a)=0 \\ (x^2-a)(x^2+a+2(x-2))=0 \\ (x^2-a)(x^2+a+2x-4))=0 \\ (x^2-a)(x^2+2x+a-4)=0 \\ (x- \sqrt{a} )(x+ \sqrt{a} )(x^2+2x+a-4)=0произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные имеют смысл.Уравнение четвертой степени может иметь максимум 4 действительных различных корня: x₁; x₂; x₃; x₄Первые два корня: x₁=√a и x₂=-√aквадратное уравнение: x²+2x+a-4=0 1)имеет два корня, если дискриминант больше нуля (D>0)2)имеет один корень, если D=03)не имеет корней, если D<03-ий случай нас не интересует, так как исходное уравнение будет иметь только два корня: x₁=√a и x₂=-√aанализируем исходное уравнение,если x₁=x₂  =>  √a=-√a  => a=0тогда квадратное уравнение  x²+2x+a-4=0 - должно иметь два корня, (причем ни один из этих корней не должен равняться нулю) чтобы было хотя бы 3 корня у исходного уравнения1) \left \{ {{a=0} \atop {D\ \textgreater \ 0}} ight. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{a=0} \atop {4-4*(a-4)\ \textgreater \ 0}} ight. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{a=0} \atop {4-4a+16\ \textgreater \ 0}} ight. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{a=0} \atop {20\ \textgreater \ 4a}} ight. \ \\ \\ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{a=0} \atop {a\ \textless \ 5}} ight.\ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ a=0 то есть a=0 подходит для нашего условия.рассматривать a<0, нет смысла, так как x₁=√a и x₂=-√a"а" под квадратным корнем, значит "а" должно быть больше или равно нулю.Если x₁≠ x₂ , тогда "а" может быть любым положительным числом (а>0)и уже будет два корня. Следовательно квадратное уравнение может иметь один или два корня, чтобы всего было не менее 3-х корней.2) \ \left \{ {{a\ \textgreater \ 0} \atop {D \geq 0}} ight. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{a\ \textgreater \ 0} \atop {a \leq 5}} ight. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ 0\ \textless \ a \leq 5c учетом того, что а=0 или а∈(0;5], получается, что а∈[0;5]НО и это еще не все!Уравнение четвертой степени может иметь меньше 3-х корней, еслих₁=х₃ и х₂=х₄или наоборот:х₁=х₄ и х₂=х₃Найдем корни квадратного уравнения: х₃ и х₄ x^2+2x+a-4=0 \\ \\ D=4-4(a-4)=4(1-a+4)=4(5-a) \\ \sqrt{D} = \sqrt{4(5-a)}=2 \sqrt{5-a} \\ \\ x_{3,4}= \frac{-2^+_-2 \sqrt{5-a} }{2} =-1^+_- \sqrt{5-a} \\ \\ 3) \ \left \{ {{x_1=x_3} \atop {x_2=x_4}} ight. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{ \sqrt{a} =-1+ \sqrt{5-a} } \atop {- \sqrt{a}=-1- \sqrt{5-a} }} ight. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{ \sqrt{a}+1= \sqrt{5-a} } \atop { \sqrt{a}=1+ \sqrt{5-a} }} ight. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \\ \\ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{a+2 \sqrt{a} +1=5-a} \atop {a=1+2 \sqrt{5-a}+5-a }} ight. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{2 \sqrt{a}=4-2a} \atop {2 \sqrt{5-a}=2a-4 }} ight. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{ \sqrt{a} =2-a} \atop { \sqrt{5-a}=a-2 }} ight. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ Дальше можешь сам(а) дорешать и убедится, что решений у этой системы нет4) \ \left \{ {{x_1=x_4 \atop {x_2=x_3}} ight. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{ \sqrt{a}=-1- \sqrt{5-a} } \atop {- \sqrt{a} =-1+ \sqrt{5-a} }} ight. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{ \sqrt{a}+ \sqrt{5-a} =-1 } \atop {\sqrt{a}+ \sqrt{5-a} =1}} ight. эта система так же не имеет решений.Были рассмотрены все случаи (по-моему мнению)ОТВЕТ:  а∈[0;5]

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years