[tex] \sqrt{1+2cos ^{2} x} +sinx + sinx \sqrt{3-2sin ^{2}x }=3 [/tex] решить уравнение.

Ответы 1

Выражение под вторым корнем преобразовывается так: $\sqrt{3-2sin^2x} = \sqrt{3-2(1-cos^2x)} = \sqrt{1+2cos^2x}$ Тогда уравнение можно переписать так: $\sqrt{1+2cos^2x}+sinx+sinx\sqrt{1+2cos^2x}=3$ Сделаем хитрый ход, к обоим частям прибавим единицу и разложим левую часть на множители $\sqrt{1+2cos^2x}+sinx+sinx\sqrt{1+2cos^2x}+1=4 \\ \sqrt{1+2cos^2x}(1+sinx)+(1+sinx)=4 \\ (1+sinx)( \sqrt{1+2cos^2x} +1)=4$ Так как -1≤sinx≤1, получаем что 0≤1+sinx≤2Так как 0≤cos²x≤1, получаем что 2≤√(1+2cos²x)+1≤√3+1Отсюда ясно, что левая часть будет равна 4 только когда 1+sinx=2 и √(1+2cos²x)+1=2Решаем первое уравнение: $sinx=1 \\ x= \frac{ \pi }{2} +2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ Так как эта серия корней удовлетворяет и второму уравнению ( $\sqrt{1+cos^2( \frac{ \pi }{2} +2 \pi n)}+1= \sqrt{1+0} +1=2$ ), она и будет решением, потому что обе скобки должны равняться двум одновременно.Ответ: $x= \frac{ \pi }{2} +2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$
- Автор:
  barneyjpl4
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы