Используя методы дифференциального исчисления, провести исследование функции и построить график
y=x^3+x^2-16x-16

1) Точки пересечения с осями.  - с осью Оу: х = 0, у =0^3+0^2-16*0-16 = -16, точка (0; -16).  - с осью Ох: у = 0.    x^3+x^2-16x-16 = 0.    Преобразуем заданное уравнение:     у =x^3+x^2-16x-16 = х²(х+1)-16(х+1) = (х²-16)(х+1) = (х-4)(х+4)(х+1).    у = 0,  (х-4)(х+4)(х+1) = 0.    Отсюда получаем 3 корня уравнения: х₁ = 4, х = -4, х = -1. 2) Для того, чтобы найти экстремумы, нужно найти производную и  приравнять её нулю и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: y' = 3x² + 2 x - 16 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: 

Ищем дискриминант:

D=2^2-4*3*(-16)=4-4*3*(-16)=4-12*(-16)=4-(-12*16)=4-(-192)=4+192=196;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁=(√196-2)/(2*3)=(14-2)/(2*3)=12/(2*3)=12/6=2;  

x₂=(-√196-2)/(2*3)=(-14-2)/(2*3)=-16/(2*3)=-16/6=-(8/3) ≈ -2,6667.

Значит, экстремумы в точках: ((-8/3); (400/27)), (2, -36). 3) Определяем минимумы и максимумы функции и промежутки знакопостоянства. Для этого находим значения производной вблизи критических точек. х =    -3    -2.667    -2      1      2      3  у' =    5        0        -8     -11    0     17.

Где производная меняет знак с + на - там максимум функции ((х=(-8/3); у= (400/27)), а где меняет знак с - на + там минимум функции (х=2; у=-36)).

Функция возрастает на промежутках -∞ < x < (-8/3) и 2 < x < +∞,

а убывает на промежутке (-8/3) < x < 2.

4) Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

y'' = 0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,y'' = 6x+2 = 2(3x+1) = 0.3 x + 1 = 0.Отсюда х = (-1/3).Интервалы выпуклости и вогнутости:Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов.Если на интервале вторая производная больше 0 , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если вторая производная меньше 0, то функция имеет выпуклость. x =    -2    -1    -0.33333     0       1 y'' = -10    -4         0           2       8 Вогнутая на промежутках [-1/3, oo),Выпуклая на промежутках (-oo, -1/3].