Каков будет предел функции:
[tex] \lim_{x \to 0} x^{arcsinx} [/tex] ?

А можно-ли применять его только один раз, чтобы когда получилась производная выражения, деленного на икс(где минус арксинус), просто написать, что так как икс в знаменателе стремится к нулю, и соответственно степень е равна нулю? Ведь, по сути, так и есть, или я ошибаюсь?

Когда знаменатель стремится к 0, вся дробь стремится к бесконечности. В данном случае это подавляется числителем, который тоже стремится к 0, как х^2. Можно без второго Лопиталя, если воспользоваться тем, что arcsin(x)/x -> 1 при x->0, что фактически есть замечательный предел, если сделать замену x=sin(t).

Два раза надо применить лопитальчик