Докажите тождество,используя принцип математической индукции:

А должно получиться (n+1)^2*(2(n+1)^2-1) =

= (n^2+2n+1)(2n^2+4n+2-1) = (n^2+2n+1)(2n^2+4n+1) =

= 2n^4+4n^3+2n^2+4n^3+8n^2+4n+n^2+2n+1 =

= 2n^4+8n^3+11n^2+6n+1

Слева и справа получилось одно и тоже, равенство доказано.

Принцип мат. индукции состоит из 2 пунктов:1) Убедиться, что при n=1 равенство выполняется.2) Если равенство выполняется при каком-то n, доказать, что оно выполняется и для n+1.Таким образом, мы доказали, что равенство выполняется при n=1, а дальше при n=2,3, и так далее. То есть при всех n.10 задач это много, я сделаю несколько самых интересных.2) При n=1 будет 1^2=1(1+1)(2*1+1)/6=1*2*3/6=1Все верно.Пусть при n оно верно, тогда1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6При n+1 получится1^2+2^2+(n+1)^2=(n+1)(n+2)(2n+3)/6Получаемn(n+1)(2n+1)/6+(n+1)^2==(n+1)(n+2)(2n+3)/6Умножаем на 6 и делим на (n+1)2n^2+n+6n+6=2n^2+4n+3n+6Это верно, равенство доказано.3) При n=1 будет1^3=1^2*(1+1)^2/4=1*2^2/4=1Все верно.Пусть при n оно верно1^3+2^3+...+n^3=n^2*(n+1)^2/4Тогда при n+1 будет1^3+2^3+...+(n+1)^3==(n+1)^2*(n+2)^2/4Получаемn^2*(n+1)^2/4+(n+1)^3==(n+1)^2*(n+2)^2/4Умножаем на 4 и делим на (n+1)^2n^2+4(n+1)=(n+2)^2n^2+4n+4=(n+2)^2Это верно, равенство доказано.6) При n=1 будет1*2=1(1+1)(1+2)/3=1*2*3/3=2Это верно. Пусть при n оно верно.1*2+2*3+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3Тогда при n+1 будет1*2+2*3+...+(n+1)(n+2)==(n+1)(n+2)(n+3)/3Получаемn(n+1)(n+2)/3+(n+1)(n+2)==(n+1)(n+2)(n+3)/3Умножаем на 3 и делим (n+1)(n+2)n+3=n+3Верно, равенство доказано.Остальные решаются точно также.