Будьте добры! Помогите решить неопределенный интеграл. Буду очень благодарна!

Ответы 1

Сначала делаем так: $\int\limits { \frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2} }} \, dx =- \int\limits { \frac{4-x^2-4}{ \sqrt{4-x^2}} } \, dx =-( \int\limits {{ \frac{4-x^2}{ \sqrt{4-x^2}} }}dx- 4\int\limits { \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} } \, dx )= \\ =4 \int\limits { \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} } \, - \int\limits { \sqrt{4-x^2} } \, dx$ С первым интегралом все просто, он табличный и равен $4arcsin \frac{x}{2} +c_1$ Второй интеграл будем брать по частям: $u= \sqrt{4-x^2} \\ du= \frac{-x}{ \sqrt{4-x^2} } \\ dv=dx \\ v=x \\ \int\limits {udv} \, =uv- \int\limits {vdu} \\ \int\limits \sqrt{4-x^2} \, dx =x\sqrt{4-x^2}+ \int\limits \frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2} } dx \, +c_2$ Тогда исходный интеграл равен: $\int\limits \frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2} } dx=4arcsin \frac{x}{2} +c_1- x\sqrt{4-x^2}- \int\limits \frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2} } dx \, -c_2$ Делаем следующее: $2\int\limits \frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2} } dx=4arcsin \frac{x}{2} - x\sqrt{4-x^2}+c_3 \\ \int\limits \frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2} } dx=2arcsin \frac{x}{2}- \frac{1}{2} x\sqrt{4-x^2}+C$ Это ответ.
- Автор:
  kyleigh
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ