При каких значениях параметра k неравенство х+k>2sinx выполняется для всех положительных значений х?

Вообще говоря sinx<x sinx<=1 если сложить эти 2 неравенства: 2sinx<x+1 k=1 тоже подойдет

Видимо ответ : k>=1

Еще надо доказать что не существует k менее чем1

Вот ! Это правильно.

по определению: sinx ≤ 1Для положительных x:sinx < xсложим два неравенства:2sinx < 1 + xЗначит, при k=1 всегда выполняется неравенство для любых положительных xТак же оно выполняется для любых k > 1Рассмотрим остальные k:1) k∈(-∞; -1), т.е. k = (-1 - l), l > 0, для x∈(0; l)2sinx < -1 - не выполняется ни при каких х2) k∈[-1; 0), тогда для x∈(0; |k|) 2sinx < -1 - не выполняется ни при каких х3) k∈[0;1), для x∈(k; 1)sinx < k  - должно выполняться для любых x, всегда найдется х, что неравенство не выполнитсяОтвет: k∈[1;+∞)