Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0) [tex]S: x^{2} + y^{2}-xz-yz=0[/tex]

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0)
[tex]S: x^{2} + y^{2}-xz-yz=0[/tex]
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  sincere
- 5 лет назад

Ответы 1

Рассмотрим функцию $f(x,y,z)=x^2+y^2-xz-yz$ Наша функция задана в неявном виде, то частные производные функции вычисляются по формулам: $\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{ \frac{\partial f}{\partial x} }{ \frac{\partial f}{\partial z} } =- \dfrac{2x-z}{-x-y}$ $\dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{ \frac{\partial f}{\partial y} }{ \frac{\partial f}{\partial z} } =- \dfrac{2y-z}{-x-y}$ Вычислим значение частных производных в точке $M_0$ с координатами $(x_0;y_0;z_0).$ $f'_x(x_0;y_0;z_0)= \dfrac{2x_0-z_0}{x_0+y_0} \\ \\ f'_y(x_0;y_0;z_0)= \dfrac{2y_0-z_0}{x_0+y_0}$ Запишем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке $M_0:$ $z-z_0=f'_x(x_0;y_0;z_0)(x-x_0)+f'_y(x_0;y_0;z_0)(y-y_0)$ - уравнение касательной в общем виде. $\boxed{z-z_0= \dfrac{2x_0-z_0}{x_0+y_0} \cdot (x-x_0)+ \dfrac{2y_0-z_0}{x_0+y_0} \cdot(y-y_0)}$ - уравнение касательной плоскости к поверхности в точке $M_0$ с координатами $(x_0;y_0;z_0).$ Уравнение нормали в общем виде: $\dfrac{x-x_0}{f'_x(x_0;y_0;z_0)} = \dfrac{y-y_0}{f'_y(x_0;y_0;z_0)} = \dfrac{z-z_0}{-1}$ Пользуясь этой формулой, имеем каноническое уравнение нормали к поверхности в точке $M_0:$ $\boxed{\dfrac{(x-x_0)(x_0+y_0)}{2x_0-z_0} = \dfrac{(y-y_0)(x_0+y_0)}{2y_0-z_0} = \dfrac{z-z_0}{-1}}$ - каноническое уравнение нормали к поверхности в точке $M_0$ с координатами $(x_0;y_0;z_0).$
- Автор:
  amiah
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ