В прямоугольном параллелепипиде ABCDA1B1C1D1 известны отношения длин ребер: AB:AD:AA1 = 5:12:13. Диагональ AC1 равна 39 корней из 2. Найдите сумму длин всех ребер параллелепипида.

Пусть одна часть х, тогда длины рёбер равны 5х,12х,13х .

АС ² =  АВ² + ВС ² по теореме Пифагора из треугольника АВС.

Из треугольника АСС₁ имеем  АС₁ ²= АС ² + СС₁ ²

 АС₁ ²= АС ² + СС₁ ² = АВ² + ВС ² + СС₁ ²

подставляем  , получаем уравнение

(39√2)² = (5х)² +( 12х)² + ( 13х) ²

3042 = 25х ² +144х ²+ 169х ²

3042 = 338 х²

х² = 9

х ₁ =-3   , х₂ = 3

-3 не удовлетворяет условию задачи

5· 3 =15 Одно ребро

12· 3 =36 -другое

13 · 3 =39 третье

Сумма 15 + 36 + 39= 90 - это 3 ребра, их у параллелепипеда  12 , 90 · 4 = 360

Ответ 360