Периметр равнобедренного треугольника равен 60 см. При каком значении высоты, проведенной к основанию, площадь имеет наибольшее значение?

S = \frac{1}{2}hb, \ P = 60

h - высота, b - основание.

AB = BC = \sqrt{\frac{b^2}{4}+h^2}\\\\ P = AB + BC + b = 2\sqrt{\frac{b^2}{4}+h^2} + b = 60\\\\ \frac{60 - b}{2} = \sqrt{\frac{b^2}{4}+h^2}\\\\ \frac{3600 - 120b + b^2}{4} = \frac{b^2}{4} + h^2\\\\ \frac{3600 - 120b}{4} = h^2\\\\ 900 - 30b = h^2\\\\ b = -\frac{h^2 - 900}{30}\\\\ S = \frac{1}{2}h(\frac{900 - h^2}{30}) = \frac{900h - h^3}{60}\\\\ S' = \frac{900}{60}-\frac{3h^2}{60}\\\\

-\frac{3h^2}{60} + \frac{900}{60} = 0 \ | *60\\\\ -3h^2 + 900 = 0 \ | - 900\\\\ -3h^2 = -900\\\\ h^2 = 300\\\\ h = \pm\sqrt{300}\\\\ S' \geq 0, \ h \in [-\sqrt{300},\sqrt{300}]

\max\limits_{S}(h) = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}