Комплексное число. Почему i^2(квадрат) = -1 . На каких основаниях так? Откуда это взялось и к чему оно? Какой его смысл ?

например, множество натуральных чисел: N = {1; 2; 3; 4...}на нем всегда выполняется сложение и умножение: (1+2) ∈ N; (300+1000) ∈ N; (5*7) ∈ Nа вот результат вычитания (и тем более деления) уже не всегда число натуральное... (4-1) ∈ N; (1-4) ∉ N; (1:4) ∉ Nввели понятие ЦЕЛОЕ число: Z = {...-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4...}(1-4) ∈ Z"придумали" дробные числа (множество рациональных чисел Q)(1:4) ∈ Q"научились" извлекать корни и "пришлось" описывать множество иррациональных чисел, ведь √5 ∉ Qи все это действительные числа (R)и теперь следующий "шаг"корень из отрицательного числа не существует (по определению)х² ≠ -1 но это верно только для действительных чиселрасширим представление о числах: пусть существует такое число, квадрат которого = -1 и назовем это число (i) - мнимая единица.i² = -1----------ведь когда-то и такое уравнение не имело решения:х + 3 = 2 на множестве натуральных чисел решений нет)))----------смысл: квадратное уравнение х² = -4 теперь имеет решение !!на множестве комплексных чисел...а на множестве действительных чисел решений нет...