На доске записано число 123456789. Разрешается брать любые две цифры
одинаковой чётности и заменять каждую из них на среднее арифметическое.
Можно ли такими операциями когда-нибудь получить на доске число,
большее 800000000?

Да, можно.Один из способов:Замена первой цифры и каждой последующей.Т.е. сначала берётся 1 и 3 цифра, потом 1 и 4, потом 1 и 5, ..., в конце 1 и последняя.Таким образом, мы увеличивали первую цифру на 1 после каждой операции.На фото все эти операции.