• Интегрирование рациональных дробей.
    [tex] \int\limits \frac{x^2}{(x-2)(x^2+1)} \, dx [/tex]

Ответы 1

  • Метод неопределённых коэффициентов\displaystyle   \int\limits { \frac{x^2}{(x-2)(x^2+1)} } \, dx =\int\limits { \frac{Ax+B}{x^2+1} } \, dx +\int\limits { \frac{C}{x-2} } \, dx \boxed{=}********************************************************* \dfrac{x^2}{(x-2)(x^2+1)} = \dfrac{Ax+B}{x^2+1} + \dfrac{C}{x-2} Приводя к общему знаменателю, получимx^2=(Ax+B)(x-2)+C(x^2+1)Найдем коэффициенты A, B, C.x^2\,:\, \, 2^2=0+C\cdot (2^2+1)\\ x^0\,:\, \,0=B\cdot (-2)+C\\ x^1\,:\, \,1=-A-B+2CРешая систему уравнений, получим: \begin{cases}
 & \text{  } C= \,\,\,\,\dfrac{4}{5}  \\ 
 & \text{  } B=  \dfrac{2}{5} \\ 
 & \text{  } A=\,\,\,\,\dfrac{1}{5} 
\end{cases}*******************************************************\displaystyle \boxed{=}  \int\limits { \frac{ \frac{1}{5}x+ \frac{2}{5}  }{x^2+1} } \, dx +\int\limits { \frac{ \frac{4}{5} }{x-2} } \, dx = \frac{1}{5} \int\limits { \frac{x+2}{x^2+1} } \, dx + \frac{4}{5} \int\limits { \frac{dx}{x-2} } \,  =\\ \\ \\ = \frac{1}{5} \int\limits { \frac{xdx}{x^2+1} } \, + \frac{2}{5} \int\limits { \frac{dx}{x^2+1} } \, + \frac{4}{5} \int\limits { \frac{dx}{x-2} } \,= \\ \\ \\ = \frac{1}{10}\ln (x^2+1)+ \frac{2}{5}   arctg x+ \frac{4}{5} \ln|x-2|+C
  • Добавить свой ответ

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years