докажите, что из всех прямоугольников, периметр которых равен 80 см, наибольшую площадь имеет квадрат

Пусть одна сторона  равна X,тогда вторая равна (40-X).Площадь равна  S(X)=x(40-x).Найдем максимум этой  функции на отрезке [0;40 ]. S*(x)=(40x-x^2)*=40-2x, 40-2x=0, x=20.Одна стационарная точка при переходе через которую производная меняет знак с (+) на (-). Поэтому x=20-точка максимума. Найдем вторую сторону : 40-20=20 см. Прямоугольник с равными сторонами есть квадрат. Доказано.