Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: y' cosx + y sinx = 1

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: y' cosx + y sinx = 1
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  kierradonovan
- 5 лет назад

Ответы 1

Если левую и правую часть уравнения разделить на cos(x), то уравнение относится к типу линейным, неоднородным дифференциальным уравнениям.Применим метод Бернулли.Пусть $y=uv$ , тогда $y'=u'v+uv'$ . Подставим в исходное уравнение. $uv\sin x+(u'v+uv')\cos x = 1\\ u(v\cdot \sin x+v'\cdot \cos x)+u'v\cos x=1$ Решение состоит из двух этапов:1) Предполагаем что первое слагаемое примем за 0. $u(v\cdot \sin x + v'\cdot \cos x)=0\\ v\sin x+v'\cos x=0|:\cos x\\ vtg x+v'=0\\ v'=-v\cdot tgx$ Получили уравнение с разделяющимися переменными. Переходя к дифференциалам, имеем: $\displaystyle \frac{dv}{dx} =-v tg x$ $\displaystyle \frac{dv}{v} =-tg x\,\, dx$ - уравнение с разделёнными переменными.Проинтегрируем обе части уравнения $\displaystyle \int\limits { \frac{dv}{v} } = -\int\limits {tgx} \, dx\\ \ln|v|=\ln |cos x|\\ v=\cos x$ 2) После того как нашли v(x), найдем u(x) из условия $u'v\cos x=1$ Подставим $u'\cos ^2x=1\\ \\ u'= \dfrac{1}{\cos^2 x}$ Получили уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя обе части уравнения, получим $\displaystyle u= \int\limit {\dfrac{dx}{\cos^2 x} } =tg x+C$ Таким образом, чтобы найти решение данного дифференциального уравнения, остаётся выполнить обратную замену. $y=uv=(tg x + C)\cdot \cos x=\sin x+C\cdot \cos x$ - общее решение.Ответ: $y=\sin x+C\cdot \cos x$
- Автор:
  scott28
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ