Решить дифференциальное уравнение: xy'+y-eˣ=0

Решить дифференциальное уравнение:

xy'+y-eˣ=0
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  ayaanbonilla
- 5 лет назад

Ответы 1

Разделим обе части уравнения на х $y'+ \dfrac{y}{x} = \dfrac{e^x}{x}$ Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, неоднородное.Пусть $y=uv$ , тогда $y'=u'v+uv'$ $u'v+uv'+ \dfrac{uv}{x} = \dfrac{e^x}{x} \\ \\ \\ u'v+u\bigg(v'+ \dfrac{v}{x}\bigg) =\dfrac{e^x}{x}$ Решение состоит из двух этапов:1) Предполагаем, что второе слагаемое равен нулю $v'+ \dfrac{v}{x} =0\\ \\ v'=- \dfrac{v}{x}$ Получили уравнение с разделяющимися переменными.По определению дифференциала $\dfrac{dv}{dx} =- \dfrac{v}{x} \\ \\ \dfrac{dv}{v} =-\dfrac{dx}{x}$ Интегрируя обе части уравнения, получаем: $\displaystyle \int\limits {\dfrac{dv}{v} } \,=- \int\limits {\dfrac{dx}{x} } \, \\ \\ \ln|v|=-\ln|x|\\ v= \frac{1}{x}$ 2) Раз предположили что второе слагаемое = 0, то $\displaystyle u'v= \frac{e^x}{x} \\ \\ u'\cdot \frac{1}{x}=\frac{e^x}{x}\\ \\ \\ u'=e^x$ Интегрируя обе части уравнения, получаем: $\displaystyle u= \int\limits {e^x} \, dx =e^x+C$ Выполним обратную замену: $y=uv=\dfrac{e^x+C}{x}$ - общее решение исходного уравненияОтвет: $y=\dfrac{e^x+C}{x}$
- Автор:
  lily48
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

Решить дифференциальное уравнение: xy'+y-eˣ=0

Ответы 1

Топ пользователей

Решить дифференциальное уравнение:

xy'+y-eˣ=0