Помогите решить неравенство, с подробным решением, пожалуйста, срочно! ( Если что, в

Ответы 1

$3\log_{x-2}(8-x)+1\geqslant\dfrac14\log_{x-2}^2(x^2-10x+16)^2\\ 3\log_{x-2}(8-x)+1\geqslant\dfrac14\log^2_{x-2}((x-8)(x-2))^2\\ 3\log_{x-2}(8-x)+1\geqslant\dfrac14(\log_{x-2}(x-8)^2+\log_{x-2}(x-2)^2)\\ 3\log_{x-2}(8-x)+1\geqslant\dfrac14(2\log_{x-2}(8-x)+2)^2\\ 3\log_{x-2}(8-x)+1\geqslant\log^2_{x-2}(8-x)+2\log_{x-2}(8-x)+1\\ \log_{x-2}^2(8-x)-\log_{x-2}(8-x)\leqslant0\\ \log_{x-2}(8-x)(\log_{x-2}(8-x)-1)\leqslant 0$ Теперь воспользуемся теоремой о знаке логарифма, оно же метод рационализации, ....Суть метода: если логарифмы определены, то $\log_{f(x)}g(x)-\log_{f(x)}h(x)$ даёт такой же знак, что и $(f(x)-1)(g(x)-h(x))$ .ОДЗ: x - 2 > 0, x - 2 ≠ 1, 8 - x > 0x ∈ (2, 3) ∪ (3, 8)На ОДЗ неравенство равносильно такому: $(x-3)^2(8-x-1)(8-x-(x-2))\leqslant 0\\ (x-3)^2(7-x)(10-2x)\leqslant0\\(x-3)^2(x-5)(x-7)\leqslant0$ Получилось обычное равенство, которое легко решается методов интервалов: $x\in\{3\}\cup[5,7]$ Это решение, кроме 3, входит в ОДЗ, поэтому окончательный ответ такой: $\boxed{x\in[5,7]}$
- Автор:
  stanley
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы