Участок имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Площадь участка равна 12,5 м². При каком радиусе полукруга периметр участка будет наименьшим?

Ответы 1

Участок показан на рисунке.Прямоугольник имеет размеры a x b, полукруг R = a/2.Площадь участка S = a*b + pi*R^2/2 = 2R*b + pi*R^2/2 = 12,5Выразим отсюда $b = \frac{25 - pi*R^2}{4R}$ Периметр $P = a + 2b + piR = R(2+pi) + \frac{25 - piR^2}{2R}= \frac{4R^2+2piR^2+25-piR^2}{2R}$ $P= \frac{4R^2+piR^2+25}{2R}$ Нам нужно P => min. Решаем через производную $P'= \frac{(8R+2piR)*2R-(4R^2+piR^2+25)*2}{4R^2} = \frac{8R^2+2piR^2-4R^2-piR^2-25}{2R^2} =0$ Если дробь равна 0, то числитель равен 0, а знаменатель нет.4R^2 + pi*R^2 - 25 = 0R^2 = 25/(4+pi)R = 5/√(4+pi)a = 2R $b = \frac{25 - piR^2}{4R}= \frac{25-pi*25/(4+pi)}{4*5/ \sqrt{4+pi} } = \frac{5(4+pi)-5pi}{4+pi}: \frac{4}{ \sqrt{4+pi} } =$ $=\frac{20}{4+pi}* \frac{ \sqrt{4+pi} }{4} = \frac{5}{ \sqrt{4+pi} } =R$ Ответ: радиус R = 5/√(4+pi); a = 2R; b = R
- Автор:
  alisson
- 4 года назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы