Решить задачу Коши: y'x-2yy'=2x+y y(1)=0

y¹(x-2y)=2x+y

y¹=(2x+y) / (x-2y)

Это однородное уравнение, разделим числитель и знаменатель на х:

          2+y/x

y¹ = -----------  Замена: t=y/x , y=tx , y¹=t¹x+tx¹=t¹x+t

          1-2y/x 

t¹x+t=(2+t)/(1-2t)

         2t²+2          dx        (1-2t) dt

t¹ = ----------    ,  ----- = -------------

         x(1-2t)        x          2(t²+1)  

Далее интегрируем, 

 1          dt             2t dt           dx

----(∫---------- - ∫----------)= ∫---------

  2        1+t²         1+t²               x

1/2(arctgt-2ln|1+t²|)=ln|x|+C

y(1)=0 ⇒ C=0

1/2(arctg y/x - 2ln|1+y²/x²|)=ln|x|