sinx(1-cosx)^2+cosx(1-sinx)^2=2

Ответы 1

$\sin x(1-\cos x)^2+\cos x(1-\sin x)^2=2\\ \sin x(1-2\cos x+\cos^2x)+\cos x(1-2\sin x+\sin^2 x)=2\\ \sin x+\sin x\cos^2x+\cos x+\cos x\sin^2x-4\sin x\cos x=2\\ \cos x\sin x(\cos x+\sin x)+\sin x+\cos x-4\sin x\cos x=2(\sin^2x+\cos^2x)\\ \cos x\sin x(\cos x+\sin x)+\sin x+\cos x=2(\sin x+\cos x)^2$ Пусть $\sin x+\cos x=t$ , причем $|t| \leq \sqrt{2}$ , тогда $(\sin x+\cos x)^2=t^2\,\, \Rightarrow \,\,\, \sin x\cos x= \dfrac{t^2-1}{2}$ Подставим в последнее уравнение, получаем $\dfrac{t^2-1}{2} \cdot t+t=2t^2|\cdot 2\\ \\ t^3-t+t=4t^2\\ t^3-4t^2=0\\ t^2(t-4)=0\\ t_1=0$ $t_2=4$ - не удовлетворяет условию при |t|≤√2Обратная замена $\sin x+\cos x=0|:\cos x\\ tgx=-1\\ x=- \dfrac{\pi}{4}+\pi n,n \in \mathbb{Z}$ Окончательный ответ: $- \dfrac{\pi}{4}+\pi n,n \in \mathbb{Z}$
- Автор:
  addysondne7
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы