вышмат 2yy''-3(y')^2=4y^2найти общее решение уравнения

вышмат
2yy''-3(y')^2=4y^2
найти общее решение уравнения
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  greta
- 5 лет назад

Ответы 1

Это дифференциальное уравнение второго порядка независящее явным образом от независимой переменной х.Понизим порядок производной.Пусть y' = p(y), тогда y'' = p*p'(y). Имеем: $-3p^2+2yp\cdot p'=4y$ Пусть l = p², тогда $l'- \dfrac{3l}{y} =4y$ Получили дифференциальное уравнение первого порядка, линейное неоднородное.Пусть $l=uv$ тогда $l'=u'v+uv'$ $u'v+uv'- \dfrac{3uv}{y} =4y\\ \\ u'v+u\bigg(v'- \dfrac{3v}{y} \bigg)=4y$ Данное решение состоит из двух этапов:1) Предполагаем, что второе слагаемое равен нулю: $v'- \dfrac{3v}{y} =0;\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\, \dfrac{dv}{dy} = \dfrac{3v}{y} \\ \\ \dfrac{dv}{v} = \dfrac{3dy}{y}$ Интегрируя обе части уравнения, получаем: $\ln|v|=\ln|y^3|\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\, v=y^3$ 2) Второе слагаемое равен нулю, значит $u'v=4y\\ \\ u'\cdot y^3=4y|:y^3\\ \\ u'= \dfrac{4}{y^2}$ Снова интегрируя, получаем: $\displaystyle \int\limits {\dfrac{4}{y^2} } \, dy=-\dfrac{4}{y} +C_1$ Обратная замена: $l=\bigg(-\dfrac{4}{y}+C_1\bigg)\cdot y^3=-4y^2+C_1y^3\\ \\ p^2=C_1y^3-4y^2;\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\, p=\pm \sqrt{C_1y^3-4y^2} \\ \\ \\ y'=\pm \sqrt{C_1y^3-4y^2} \\ \\ \\ \dfrac{dy}{y \sqrt{C_1y-4} } =\pm dx\\ \\ \\ \boxed{-arctg\bigg( \frac{2}{ \sqrt{C_1y-4} } \bigg)=\pm x+C_2}$
- Автор:
  mountaini8ib
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

вышмат 2yy''-3(y')^2=4y^2найти общее решение уравнения

Ответы 1

Топ пользователей

вышмат
2yy''-3(y')^2=4y^2
найти общее решение уравнения