|x^2-4x+3|+|x^2-5x+6|=1

А куда Вы дели модули?

Стандартный способ решения таких уравнений состоит   в рассмотрении нескольких промежутков, на каждом из которых модули раскрываются тем или иным образом. Надеюсь кто-нибудь такое решение приведет. Мне же здесь хотелось рассказать, как иногда этот процесс можно упростить. Имеем:Поскольку |x-a|- это расстояние от x до a, |x-1|+|x-2| это сумма расстояний от x до 1 и 2, а поскольку расстояние между 1 и 2 равно 1, эта сумма больше или равна 1. Отсюда следует, что |x-3| меньше или равен 1 (иначе произведение скобок в левой части стало бы больше 1). А раз |x-3| - это расстояние от x до 3, x обязан принадлежать отрезку [2;4]. Значит, x больше или равен 2, а тогда |x-2|=x-2; |x-1|=x-1. Уравнение превращается в|x-3|(x-1+x-2)=1; |x-3|(2x-3)=1. Можно рассматривать случаи x справа от 3 и x слева от 3, но можно обойтись без этого. Вспомним, что у нас x больше или равен 2, а отсюда2x-3>0. Разделив в уме уравнение на (2x-3), получаем уравнение вида  |u|=v, причем известно, что v>0. Из него следует, что расстояние от u до 0 равно v, следовательно, u=v или u=-v. Вернув (2x-3) на место, получаем, что наше уравнение равносильно совокупности из двух уравненийРешая эти два квадратных уравнения, получаем корни Отбрасывая корень, меньший 2, пишем ответКстати, эта задача (как и многие другие) есть в замечательной книжке, которую я очень люблю. К сожалению, она в последнее время (после наступления эры ЕГЭ) не переиздается. Называется она Алгебраический тренажер, ее авторы Мерзляк, Полонский, Якир.