Решить уравнение

[tex]\sqrt{x+1}-\sqrt{\frac{x-1}{x}}=-1[/tex]

Приветствуются нестандартные ходы

sqrt(x+1) + 1 = sqrt((x-1)/x)Возведем в квадрат:x+1+1+2*sqrt(x+1) = (x-1)/xx+2+2*sqrt(x+1) = 1 - 1/xx+1+2*sqrt(x+1) = - 1/x2*sqrt(x+1)  = -1/x - x - 1Снова возведем в квадрат:4*(x+1) = (-1/x - x - 1)^24x + 4 = (1/x + x + 1)^24x + 4 = 1/x/x + x*x + 1 + 2 + 2/x + 2x2x + 1 = 1/x/x + x*x + 2/x2x + 1 - 1/x/x - x*x - 2/x = 0Умножим все на x^2:2x^3 + x^2 - 1 - x^4 - 2x = 0x^4 -2x^3 - x^2 + 2x + 1  = 0Так как x=0 не является корнем уравнения, поделим его на x^2:x^2 + 1/x^2 - 1 + 2/x - 2x = 0(1/x - x)*(1/x - x) + 1 + 2/x - 2x = 0Введем вспомогательную переменную t = 1/x - xt*t + 1 + 2*t = 0t*t + 2*t + 1 = 0D=4-4 = 0t = -2/2 = -1Таким образом:1/x - x = -11-x*x = -xx*x - x - 1 = 0D = 1+4 = 5x1,2 = (1+-sqrt(5))/2Теперь выполним подстановку в исходное уравнение и увидим, что подходит только один корень:x = (1-sqrt(5))/2Ответ правильный, проверено в программе Graph.Замечание:Некоторые требуют выполнить проверку без калькулятора и программ :)Заметим, что в этой задаче x = -(золотое сечение). Как известно, (золотое сечение) = 1 - 1/(золотое сечение).Поэтому:(x-1)/x = 2-x =>sqrt(x+1) - sqrt((x-1)/x) = sqrt(x+1) - sqrt(2-x) = -1;sqrt(x+1) + 1 = sqrt(2-x);Возведем в квадрат:x + 1 + 1 + 2*sqrt(x+1) = 2 - x;2x + 2*sqrt(x+1) = 0;x + sqrt(x+1) = 0;x = -sqrt(x+1);Заметим, что x отрицателен.Возведем в квадратx*x = x + 1;x*x - x - 1 = 0;Решим его и найдем, что x = (1-sqrt(5))/2.Следовательно, x=(1-sqrt(5))/2 - корень исходного уравнения.